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Mandelbrot发表《英国的海岸线有多长?统计自相似和分数维度》提出分形理论后,分形方法在不同领域内都得到广泛的应用,应用于沟谷形态分析[1-5]、地貌格局差异[6],以及土壤侵蚀响应[7, 8]等方面。度量水系结构复杂性常用指标之一就是分形维数[9],朱晓华应用分形理论研究了整个中国水系及其各组成水系的分形结构特征[3]。孟宪萌对不同地貌类型的长江流域进行分形分维计算,通过盒维数判定对应的地貌发育阶段[10]。梁春玲计算祖厉河流域分维值,刻画了流域地貌形态特征[11]。何直立将秦岭地区的22个典型流域利用盒维数法进行分析,探索流域形态特征及水文特征的相关性和空间分异性[12]。前人基于分维研究,划分了流域地貌发育阶段[13]。上述研究从全国[3]、流域[10, 11]、区域[12]等不同尺度对河网或水系的形态特征进行了研究。从研究的热点区域来看,主要涉及秦岭山区、长江流域等地。我国黄土高原被誉为全球最具有地学研究价值的地理研究区域之一[14],黄土沟谷承袭下伏基岩,在构造、风力和水力等内外营力共同作用下,经流水等的侵蚀,形成了现在形态差异明显的沟谷[15, 16]。黄土沟谷研究方面,前人在黄土沟头[17]、沟谷节点提取及分析[7, 18]、沟谷密度及空间分异[19]、河网结构及其自相似性[20]、横剖面形态特征[21]等进行了深入研究,分析了影响黄土沟谷发育的上坡汇水面积阈值及其影响因素[22],探讨了黄土地貌发育阶段[23, 24]及沟谷侵蚀-堆积过程[25]。这些研究,丰富和发展了黄土沟谷研究,尤其是数字高程模型(Digital elevation model,DEM)及数字地形分析方法,在地貌形态研究中得到深入应用,启迪了基于DEM的黄土沟谷分维特征研究的新思索,产生了新的疑问:流域的上游一般坡度较大[22, 26],与中下游相比形态差异明显;如果采用盒维数D=1.6来划分全流域地貌发育阶段,将无法体现流域源头与其他河段的差异,结论相对勉强[27]。能否分别对河流上游及其他河段进行形态分析,研究其盒维数差异?一级支流盒维数如何区别于其他级别?基于上述考虑,以黄土高原绥德典型小流域为例,分析了不同汇流阈值提取沟谷对盒维数的影响;对比了全流域尺度盒维数与不同河段盒维数的差异;探索了级别差异如何影响盒维数。
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基于绥德典型小流域1∶1万的DEM,选取阈值为1 800进行水文分析,构建河网。采用网格法进行分形分维分析计算盒维数,网格长度和网格数目分别求对数,再对其进行线性分析,得到以下关系式,如图3所示:
其中X为网格长度对数,Y为网格数目对数,其线性回归关系式的相关系数R2为0.99,表明网格长度与网格数目密切相关,证明在1 800阈值下河网的分形分维特性是客观存在的。1.23为阈值1 800提取的河网的盒维数(见表1)。
河网 全局 源头区 中下游 盒维数 相关系数 盒维数 相关系数 盒维数 相关系数 阈值1800 1.23 0.99 1.02 0.99 1.66 0.99 阈值1800一级支流 1.08 0.98 0.94 0.99 1.51 0.99 阈值200 1.48 0.99 1.07 0.99 1.66 0.99 阈值200一级支流 1.29 0.98 0.87 0.99 1.70 0.99 Table 1. Box dimension of Suide small valley
由图3可以看出,尽管得到较好的双对数线性关系,但是图中点对应存在两段线性趋势。分别拟合两段线性关系得到的回归方程如(2)(3)所示。其中(2)对应的无标度区间为[3.66, 2.64],(3)对应的无标度区间为[2.30, 1.17]。
为探究两个无标度区间对应的沟谷位置,将无标度区间对应的栅格像素叠合得到图4所示的空间示意图。从图中可以看出,该无标度区间所对应的位置大致为小流域源头区。另一个无标度区间对应的空间位置大致为小流域的中下游。
由此可知,尽管盒维数可以用来描述流域地貌形态,但源头区和小流域中下游显著不同。为了印证这一观点,进一步单独提取了小流域一级支流,其盒维数为1.08.表示这部分为沟谷幼年期,代表了沟谷源头区的发育状态。
为了印证这一观点,设定阈值为200,重复以上实验,得出小流域整体盒维数为1.48;分段拟合的盒维数为1.07和1.66。一级支流的盒维数为1.29(见表1)。